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處理器/DSP  

利用黑盒原理探測未知電子系統的行為特徵

上網時間: 2002年03月30日     打印版  Bookmark and Share  字型大小:  

關鍵字:Luenberger  Kalman  FIR  IIR  MSE 

當面對一個未知系統又不允許去了解內部機制時,人們應該採取什麼樣的方法去分析呢?幾乎每個人都會透過觀察或猜測手段來獲取這種未知系統的功能。要是未知系統的功能是固定的還好說,但要是重建一個隨時間變化的系統功能則面臨很大的挑戰性。

所有類型的伺服系統,從馬達控制到音頻系統中的降噪?壓縮演算法都是難以分析的封閉迴路系統,封閉迴路方法對它們毫無用處,這使人們預測系統將要產生的事件時變得更加困難,而那些能揭示‘黑盒’中某些隱藏變量的演算法此時就顯得特別有用。

原理上講,一個系統的脈衝響應通常是用一個無限高及無限窄的脈衝去驅動系統而形成的,也就是常說的狄拉克函數。系統的輸出就是該系統的脈衝響應,然而實際中很難實現這種理想脈衝。在許多工業和機械應用中,工程師常利用寬頻白色噪音來驅動系統,以便發現那些諧振頻率點和衰減頻率點,從而形成特定目標的脈衝響應。這種方法也有缺點,特別是在即時應用場合。

幸運的是還有其它方法。目前已有不少可用於決定、控制和改變某個過程的系統函數(轉移函數)的演算法,這些演算法可廣泛用於馬達控制、語音重建、自適應預測和通道量化,甚至可在衛星信號傳輸中用來去除環境噪音。本文將根據採用該演算法的濾波器作為模型來評估未知系統的特徵。

過去,我們討論過Luenberger觀察器和卡爾曼濾波器。大多數人都聽說過卡爾曼濾波器,但很少有人用它,原因是它與被稱為統計的‘黑色魔盒’有關。有趣的是,所有的材料都是相同的,統計信號過程與確知信號過程使用的是同一定律,採用的是同一變換方法。這次要討論觀察器與系統模型開發中的另外一個目標,即自適應濾波器。

噪音

類似上述系統的主要應用之一是消除噪音。眾所周知,噪音無處不在,噪音是對一種形態的描述。像60Hz嗡嗡聲或嬰兒哭聲之類的噪音其大部份能量集中在頻譜的某一點,而白噪音或不相關噪音的頻譜則要寬得多,也顯得更加普遍。本文討論的濾波器則適用於任何一種情況。

在開始討論前,先介紹一下確知過程與隨機過程之間的區別。根據物理原理與觀察理論,能以合適的精度預測將來度量的物理現象就是確知過程,在這種情況下,用閉環方式來計算或預測行為其實並不困難。

然而,大量的物理現象是不確知的。對於這些現象,每次實驗會產生唯一的不可重複的歷史記錄,並且人們不能預測其詳細情況。這些數據與物理現象就具有隨機性。

隨機過程有二種,即平穩和非平穩過程。可以把隨機過程看成是同時產生的所有樣本函數的無限集合,此時,實驗數據被收集進歷史記錄(數據序列),所有歷史記錄的全體被稱為一個集合,這個集合定義了描述某個現象的隨機過程。當樣本的平均值與絕對時間無關時就是平穩過程,反之則稱為非平穩的隨機過程。

那麼怎樣才能知道某個過程是平穩的呢?一般來說如果一個過程有起點或有終點,那麼該過程很有可能是非平穩的過程。如果某個過程持續時間比它的最低頻譜分量長得多,那麼它可能就是平穩過程(至少在它的大部份生存期內是平穩的)。由於平穩的隨機過程與實際時間無關,因此比較容易處理和分析。然而實際上沒有真正的平穩過程存在,只有那些訓練用案例才可能是平穩過程。

就如大多數工程師所關心的那樣,下面要討論的主要是平穩隨機過程。

平穩數據

有了上述包含歷史記錄的集合,數據的平均值就能在任何指定時間用電腦計算出來。白噪音是很多噪音中的一種,它是一種零均值隨機信號,也就是說它的平均值為零,此時可以用積分來表達:

這個積分結果的極限接近於平均值的和。在該公式中,符號E[x]代表統計性期望值或類似的概念。該類型信號的一個非常有用的特點是非相關性。

過程的另外一個重要參數是標準偏差。人們可以將標準偏差作為指標來衡量任意種類信號的近似值與實際信號之間的接近程度。標準偏差或變量表達式為:

這個等式讀作‘偏差值和期望值的均方’,它顯示了與理想值的相差程度,也是對實際估算值接近程度的度量。

這些定義和公式不僅可以用於隨機信號,還可用於其它任意信號。

相關性

在信號處理中相關性是個功能強大的工具,當信號中混合有複雜的很難用簡單的算術表達式描述的寬頻噪音時尤其管用。本文將信號視為一個以平均值描述的隨機序列,並用自相關與互相關方法來求和。

零均值白噪音的功率或能量是不集中的。無論是什麼樣的信號區域,它都佔滿整個頻譜,但是具有確定頻率的信號分量會把它們的能量集中起來,並以尖峰形態表示。因此根據這個原理可以在噪音環境如機械系統中檢測出極其微弱的信號。

互相關函數主要應用於模式識別與信號檢測。大家知道,將一個信號注入另一個信號中是度量第二個信號在第一個信號中佔有多少成分的一種方法。這樣可以將已知信號檢測出來作為相當複雜信號的分量。如果先將目標信號記錄下來,再加入零均值的噪音,然後將原始信號注入綜合後的信號中,那麼就可以還原出原始的信號:

自相關性是一種特殊的相關函數。與互相關性中二個不同變量之間的相關性不同,自相關性代表的是同一變量在不同時間的值x[m]和x[m+n]之間的相關性,這?n表示延時。自相關性同樣也會產生對應於上述數據序列的功率譜。利用自相關性人們就可以確定在被研究信號中具有一定功率的信號頻率。

當自相關性用來檢測非隨機過程時,通常只有第一個自相關性(延時1)有用。

如何產生觀察器?

下面要討論的觀察器非常類似於Luenberger觀察器,它是一個簡單的自適應濾波器。一般的自適應濾波器採用的是標準FIR或IIR濾波器,但這?需要修改一下系數以便其輸出能匹配某個參考輸出。如果此時能成功追蹤參考輸出,那麼就可以存取正在被追蹤的所估測目標轉移函數中的變量。濾波器的系數構成了系統的脈衝響應,它們的傅利葉變換代表了系統函數。

自適應濾波器可以在FIR或IIR濾波器基礎上構建,人們通常選用不對稱FIR,這種FIR被定義為:

這?,h[k]代表濾波器系數,x[n]代表輸入樣本,k是濾波器長度。為了使該濾波器適應變化的環境,需要改變系數h[k]以滿足這些條件。現在需要一個參考信號,因此可以假設一個輸出為d[n]的未知系統或黑盒子,這?的d[n]稱為期望信號。這樣,透過對濾波器輸出與期望信號的差分運算就可以產生一個誤差信號:

在更新濾波器系數時,利用均方誤差(MSE)作為最小化標準可以得出:

代入等式4又可得到:

現在就可以得到二種相關性。首先,中間階段包含了輸入序列與期望輸出之間的互相關性;其次,輸入序列的自相關性代表了輸入信號的樣本與樣本之間的相關性。

透過下面的微分公式可以得到該濾波器的系數:

上述運算的結果是一個函數,是最佳化濾波器權重向量加上輸入信號自相關後再和輸入信號與期望信號之間互相關的卷積。

當然,輸入信號的自相關以及輸入信號與期望信號間的互相關需要透過很長的運算過程才能得到最佳化的濾波器系數,所有這些工作都旨在幫助工程師找到更簡單、更快的方法。

如何得到最小均方值?

另外一種不用執行這麼多運算就能得到期望值的途徑是最小均方(LMS)演算法。這是產生自適應濾波器最常用的方式,也是列表1中所示偽隨機碼的基礎。這種演算法包含有眾人熟悉的最陡下降演算法,該演算法中每個最接近最優化濾波器權重向量的值是當前權重的總和,並且正比於均方誤差值。考慮濾波器當前系數可以得出:

(中間等式的第二項就是最後一個等式中的比例常數)。

有人可能會猜到b用於控制演算法的收斂速度。b值越大,收斂速度越快(但不穩定的可能性也越大)。這?有個公式可以用來確定b的最佳值,此時狀態既是穩定的,收斂速度也最快:

公式中N表示濾波器的長度,Px是輸入信號的平均功率,該濾波器如圖1所示。

在表1的偽隨機碼中,樣本是將要處理的數據點數,Xn[]是包含數據點的矩陣,而Yn[]是輸出矩陣。濾波器系數儲存於coefs[]。矩陣Dn[]包含了所期望的輸出,誤差代表期望值與實際輸出值之間的差別,beta是控制濾波器收斂速度的變量。N是濾波器的長度。大家可以看到,本例中的濾波器系數可以用來確定任意時間的脈衝響應與系統函數。

作者簡介:

Don Morgan是Ultra Stereo實驗室的高級工程師兼顧問,在信號處理、嵌入式系統、硬體和軟體方面有25年的豐富經驗。他曾著有一本有關數學演算法的書,書名為《DSP系統的C語言數位演算法》,主要內容是多速信號處理和小波演算法。同時他還是《實用DSP建模、技巧和C語言編程》以及《嵌入式系統的數學演算法》等書的作者。他的聯絡郵件地址是:dgm@baykitty.com。




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