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主動式濾波器中的相位關係

上網時間: 2008年06月02日     打印版  Bookmark and Share  字型大小:  

關鍵字:濾波器  控制迴路  電壓增益 

在使用濾波器的應用領域中,振幅響應通常會比相位響應更令人注意。但是在某些應用領域上,濾波器的相位響應就變得相當重要。關於這類型的狀況,有一種例子就是濾波器屬於處理控制迴路的其中一個零件。此處的總相位偏移需要加以注意,因其可能會對迴路穩定性產生影響。不論採用何種拓樸建構,濾波器在某些頻率下所產生的符號反轉很可能是極為重要的。

將主動式濾波器以兩顆串接的濾波器來加以表示可能會比較有用。一顆是理想濾波器,內含有轉換方程式;另外一顆則是用來建立濾波器的放大器。在圖1中可以看到此架構。使用於封閉式負向回授迴路之中的放大器,可以被視為是一顆具有第一階響應的簡單低通濾波器。在某個特定的分界點上,增益會隨著頻率而轉移。此外,實際狀況是假如放大器使用時是處於反相設定狀態下,那麼額外的180度相位偏移就會在所有的頻率中產生。

圖1:如同兩顆轉換函數串接起來的濾波器。
圖1:如同兩顆轉換函數串接起來的濾波器。

濾波器的設計是兩步驟的程序。首先,必須選定濾波器的響應;接下來則是選擇電路拓樸,以便將其完成。濾波器響應意指衰減曲線的外型。通常這就好比巴特威士(Butterworth)、貝塞爾(Bessel)、或是某些柴比雪夫(Chebyshev)等類型典型響應其中之一。雖然這些響應曲線往往被認為會對振幅響應產生影響,但是其實它們也會對相位響應的外型有所影響。在本篇討論中為了要權充比較之用,因此振幅響應將會被忽略,而且被認定為原本就是恆定的。

濾波器的複雜度通常是以濾波器的‘階’(order)來加以定義-它與能量儲存零件(電感器以及電容)的數量有關。濾波器轉換函數分母的階數會隨頻率的增加而決定衰減的速率。漸進式濾波器的曲變率(rolloff rate)是-6ndB/octave或者-20ndB/decade,其中n是極點的數量。Octave意指頻率的雙倍或是一半,decade意指頻率增加或是減少十倍。因此第一階(或是單極點)濾波器的曲變率為-6dB/octave或是-20dB/decade。同理,第二階(或是雙極點)濾波器的曲變率則為-12dB/octave或是-40dB/decade。較高階濾波器通常都是將第一階與第二階的區塊加以串接後而建立起來的。當然,要利用單一主動級(active stage)建立第三甚或是第四階區域也是有可能的,但是對於元件值的敏感度以及元件之間的互動在頻率響應上所產生的影響將會很顯著的提高,因而使得這些選擇比較不具誘因。

轉換方程式

首先,我們將要先來探討一下相位響應的轉換方程式。轉換方程式的相位偏移對於所有同階的濾波器選項都會是相同的。對於單極點、低通的狀況,轉換方程式的相位偏移Φ可以由以下方程式得出:

其中:ω=頻率(每秒的弧度),ω0=中心頻率(每秒的弧度)

以每秒弧度所代表的頻率相當於2π乘上以Hz計算的頻率(f),因為一個360°週期的弧度為2π。由於此公式為無量綱比(dimensionless ratio),所以f或是ω都可以使用。

中心頻率也可以稱之為截止頻率(cutoff frequency,單極點低通濾波器的振幅響應下降3dB-大約30%時的頻率)。以相位而言,中心頻率將會位於相位偏移為50%的點上面(在這個狀況下,-90°為其極限值)。圖2所示為半對數(semi-log)圖表,以從低於中心頻率2個10倍頻(decade)到高於中心頻率2個10倍頻來估算方程式1。中心頻率(=1)具有-45°的相位偏移。

圖2:單極點低通濾波器關於中心頻率的相位響應(左軸為同相響應(in-phase response),右軸為反相響應)。
圖2:單極點低通濾波器關於中心頻率的相位響應(左軸為同相響應(in-phase response),右軸為反相響應)。

與前述類似,單極點、高通濾波器的相位響應可以由以下方程式得出:

圖3是以從低於中心頻率2個10倍頻到高於中心頻率2個10倍頻來估算方程式2。經過標準化的中心頻率(=1)具有+45°的相位偏移。

圖3:具有中心頻率為1之單極點高通濾波器的相位響應(左軸為同相響應,右軸為反相響應)。
圖3:具有中心頻率為1之單極點高通濾波器的相位響應(左軸為同相響應,右軸為反相響應)。

很明顯的高通以及低通相位響應都是相似的,只是會有90°(π/2弧度)的偏移。

針對第二階低通的狀況,轉換函數所具有的相位偏移大約可以用如下的公式計算:

其中α為濾波器的衰減係數。其將會決定振幅響應的峰值以及相位轉變的銳度(sharpness)。電路中Q的反相也會決定振幅轉移或是相位偏移的陡度。巴特威士具有1.414的α值(0.707的Q值),可以產生出最為平整的響應。較低的α值將會在振幅響應中造成峰值。

圖4:具有中心頻率為1之雙極點低通濾波器的相位響應(左軸為同相響應,右軸為反相響應)。
圖4:具有中心頻率為1之雙極點低通濾波器的相位響應(左軸為同相響應,右軸為反相響應)。

圖4是以從低於中心頻率2個10倍頻到高於中心頻率2個10倍頻來估算此方程式(採用α=1.414)。此處的中心頻率(=1)會顯示出-90°的相位偏移。雙極點高通濾波器的相位響應可以利用下列公式約略算出:

在圖5中,此方程式是以從低於中心頻率2個10倍頻到高於中心頻率(=1)2個10倍頻來估算(再次採用α=1.414),而中心頻率也會呈現出-90°的相位偏移。

圖5:具有中心頻率為1之雙極點高通濾波器的相位響應(左軸為同相響應,右軸為反相響應)。
圖5:具有中心頻率為1之雙極點高通濾波器的相位響應(左軸為同相響應,右軸為反相響應)。

此處又再次看到,很明顯的高通與低通相位響應是很相似的,只偏移了180°(π弧度)。

在較高階的濾波器中,每個額外區間的相位響應都是漸增的,並且會加入到總值當中。這個部分將會在稍後做更為詳細的探討。在一般的現實狀況下,所顯示的相位偏移會被限制在±180°的範圍內。舉例來說,-181°其實跟+179°是一樣的,360°與0°是相同的,以此類推。

第一階濾波器區間

第一階區間可以採用許多種的方法來建立。最為直接的方法就是如圖6中所示,只利用一組被動式R-C的設定。這種濾波器的中心頻率是1/(2πRC)。通常必須要再接上一組非反相緩衝放大器以防止接續於濾波器之後電路上的負載,其可能會改變濾波器的響應。此外,緩衝器也具有一定的驅動能力。如圖2中所示,相位將會從中心頻率以45°的相位偏移隨頻率而改變,就正如同在轉換方程式中所預期的,這是因為沒有額外的元件來修改相位偏移。其響應將會被視為是同相第一階低通響應。緩衝器不會增加相位偏移,只要其頻寬很明顯大於濾波器頻寬。

圖6:被動式低通濾波器。
圖6:被動式低通濾波器。

請記得在這些圖表當中的頻率都是經過標準化的,也就是說對於中心頻率的比例。舉例來說,假如中心頻率是5kHz,那麼圖表就會對介於50Hz到500kHz的頻率呈現出相位響應。

圖7為另一種替代架構。此電路中增加了並聯電阻,以便對整合於內的電容持續的放電,基本上是屬於有損耗性的積算器。其中心頻率也是1/(2πRC)。由於放大器是以反相模式使用,因此反相會造成額外的180°相位偏移。輸入對輸出相位隨頻率的變化,其中也包括了放大器的相位反轉,如圖2中所示(右軸)。此響應將會被視為反相第一階低通響應。

圖7:採用處於反相模式之運算放大器的主動式單極點低通濾波器。
圖7:採用處於反相模式之運算放大器的主動式單極點低通濾波器。

上圖中的電路是一顆低通濾波器,會將高頻率予以衰減並且使低頻率通過。也有類似的電路可以用來使高頻率通過。圖8中所示為針對第一階高通濾波器的被動式設定,而其隨著標準化頻率的相位變化可以在圖3中看到(同相響應)。

圖8:被動式高通濾波器。
圖8:被動式高通濾波器。

圖3中的圖表(左軸)將會被視為同相第一階高通響應。圖9中所示為高通濾波器的主動式設定。其隨頻率的相位變化如圖3中所示(右軸)。此將會被視為反相第一階高通響應。

圖9:主動式單極點高通濾波器。
圖9:主動式單極點高通濾波器。

第二階區間

建立第二階區間需要使用不同的電路拓樸。此處將會探討Sallen-Key、多重回授(multiple-feedback)、狀態變數(state-variable)、以及與其很相近的雙二次(biquad)等幾種類型。這些都是最為常見而且彼此有所關連的類型。更多關於不同拓樸的完整訊息在參考資料中有提供。

Sallen-Key低通濾波器

受到廣泛使用的Sallen-Key設定,也是眾所周知的電壓控制電壓源(VCVS),是由MIT的Lincoln Labs中R. P. Sallen以及E. L. Key在1955首次提出。圖10所示為Sallen-Key第二階低通濾波器的概要圖。這種設定受到歡迎的理由之一就是其性能基本上跟運算放大器的性能無關,因為放大器主要是當作緩衝器之用。由於接續在基本Sallen-Key電路之後的運算放大器不會作為電壓增益之用,因此其增益頻寬的需求也就沒有那麼重要。這也意味著對於特定運算放大器的頻寬,可以採用此固定(單一)增益來設計較高頻率的濾波器,這點與其它牽涉到不同回授迴路中之放大器動態的拓樸有所差異。濾波器中的訊號相位會維持固定(非反相設定)。針對具有Q=0.707(或是衰減係數α=1/Q of 1.414-巴特威士響應)之Sallen-Key低通濾波器,其相位偏移vs.頻率的圖表如圖4中所示(左軸)。為了簡化其對照,此將會是目前所討論之第二階區間的標準性能。

圖10:雙極點Sallen-Key低通濾波器
圖10:雙極點Sallen-Key低通濾波器

Sallen-Key高通濾波器

為了要將Sallen-Key的低通轉換成高通設定,位於頻率決定(frequency-determining)網路中的電容與電阻器需要相互交換,就如圖11中所示,再次的採用了單一增益(unity-gain)緩衝。其相位偏移vs.頻率之圖表如圖5中所示(左軸)。此為同相第二階高通響應。

圖11:雙極點Sallen-Key高通濾波器。
圖11:雙極點Sallen-Key高通濾波器。

想要將Sallen-Key濾波器中的放大器增益提升,可以在回授路徑中連結一組電阻衰減器,用以反轉運算放大器的輸入。然而,頻率的改變將會對頻率決定網路的方程式產生影響,同時元件值也必須要重新計算。此外,因為放大器的動態會將增益導入迴路當中,所以更加需要予以詳細檢視。

多重回授(MFB)低通濾波器

圖12:雙極點多重回授(MFB)低通濾波器。
圖12:雙極點多重回授(MFB)低通濾波器。

多重回授濾波器採用單一放大器設定,其基礎乃是在回授迴路中使用一顆運算放大器作為積算器(反相設定)(參照圖12)。因此,轉換函數對於運算放大器參數的依存性會比使用Sallen-Key方案來得高。難以產生出高Q高頻率區間的原因,是受到運算放大器在高頻率下開放式迴路增益之限制。原則上,運算放大器的開放式迴路增益至少要比在共振(或是截止)頻率下的振幅響應高20dB(也就是×10),其中也包括了肇因於濾波器Q的峰值。肇因於Q所產生的峰值會具有振幅大小為A0的振幅:

其中H為電路的增益。

多重回授濾波器會將訊號的相位予以反轉。此相當於在濾波器本身加入180°的相位偏移。相位vs.頻率的變化如圖4中所示(右軸)。其將會被視為反相第二階低通響應。還有值得注意的是,要達到特定響應之最高與最低值元件之間的差異,在多重回授方案中會比Sallen-Key方案來得高。

多重回授(MFB)高通濾波器

關於多重回授低通方案的建議也可以應用在高通方案的狀況中。圖13中所示為多重回授高通濾波器的架構,而其理想的相位偏移vs.頻率則可以參見圖5(右軸)。其也被視為反相第二階高通響應。

圖13:雙極點多重回授(MFB)高通濾波器。
圖13:雙極點多重回授(MFB)高通濾波器。

此類型的濾波器要在高頻率下以穩定的狀態實現會更加的困難,因為它是以微分器(differentiator)作為基礎,而就如同所有的微分器電路一樣,在較高頻率下會維持較高的封閉式迴路增益,而且會有將雜訊放大的傾向。

狀態變數

狀態變數的方案如圖14中所示。這種設定能夠實現最大的彈性與精密度,但是其代價則是需要使用更多的電路加以組成,其中包括了3組運算放大器。3項主要參數(增益、Q、以及ω0)都可以個別做調整;而且低通、高通與帶通輸出都能夠同步取得。濾波器的增益也是獨立可變的。

圖14:雙極點狀態變數濾波器。
圖14:雙極點狀態變數濾波器。

由於狀態變數濾波器所有的參數都能夠個別進行調整,因此元件的分佈就能夠最小化。此外,由於溫度與元件容錯度所導致的無法匹配狀況也能夠最小化。在運算放大器之增益頻寬上,使用於積算器區間內的運算放大器將會具有如同在多重回授區間中所述及的相同限制。

低通區間的相位偏移vs.頻率屬於反相第二階響應(參見圖4中的右軸),而高通區間則會有反相高通響應(參見圖5中的右軸)。

雙二次

與狀態變數濾波器十分相近的就是雙二次濾波器(參見圖15)。這種電路的名稱是在1968年由J. Tow率先使用,稍後在1971年又被L. C. Thomas加以採用,其命名是基於轉換函數乃是兩組二次項之比例的事實而定。這種電路與狀態變數電路有著些許的差異。在這種設定當中,無法做到個別的高通輸出。然而,此設定具有兩組低通輸出,一組同相(LOWPASS1)與一組反相(LOWPASS2)。

圖15:標準的雙二次雙極點區間。
圖15:標準的雙二次雙極點區間。

隨著第四放大器區間的加入,高通、陷波(低通、標準、以及高通)、以及全通(all-pass)濾波器都能夠加以實現。圖16中所示為針對具有高通區間之雙二次的架構。

圖16:雙極點雙二次濾波器(具有高通區間)。
圖16:雙極點雙二次濾波器(具有高通區間)。

LOWPASS1區間的相位偏移vs.頻率屬於同相第二階低通響應(參照圖4的左軸)。LOWPASS2區間則屬於反相第二階響應(參照圖4的右軸)。HIGHPASS區間具有反相的相位偏移(參照圖5的右軸)。

我們已經看過,用來建立濾波器的拓樸都會對其自身的實際相位響應具有一定的影響。在決定要使用何種拓樸時,這可以是其中一項做為參考的因素。表1中對於本文所探討過之不同低通濾波器拓樸的相位偏移範圍做了比較。

表1:低通濾波器拓樸相位偏移範圍。
表1:低通濾波器拓樸相位偏移範圍。

同樣的,表2中對於不同的高通拓樸做了比較。

表2:高通濾波器拓樸相位偏移範圍。
表2:高通濾波器拓樸相位偏移範圍。

相位偏移對應於Q的變化

圖17:當Q改變時,相位偏移的變化。
圖17:當Q改變時,相位偏移的變化。

前文所提及的第二階響應都是採用0.707的Q值。圖17所示為當Q改變時對於低通濾波器之相位響應的影響(對於高通濾波器的結果也是類似的)。圖表中所描繪的是當Q值=0.1、0.5、0.707、1、2、5、10、以及20之下的相位響應。值得注意的是在低Q值狀況時,相位會開始改變至遠低於中心頻率以下。

雖然振幅響應對應Q所產生的變化並非本文的主題,但是其可能也很值得注意。圖18中所示為當Q值在上述的範圍中改變時,第二階區間的振幅響應。

圖18:當Q改變時,雙極點濾波器中的振幅峰值。
圖18:當Q改變時,雙極點濾波器中的振幅峰值。

當高Q區間被使用於多階段濾波器時,發生在高Q區間內的峰值可能也很值得注意。雖然理論上不管是哪一階的區間被加以串接都不會造成任何的差異,但在實際上把低Q區間放置於高Q區間之前,使得峰值不會造成濾波器的動態範圍被超越,這通常是比較好的作法。雖然此圖表是針對低通區間而言,但是高通響應也會顯示出類似的峰值。

較高階濾波器

轉換函數能夠加以串接而形成較高階響應。當濾波器響應被加以串接時,不論在任何的頻率下,dB增益(以及衰減)會增加,相位角度也會增加。如同前文曾經提到過的,多極點濾波器通常會以串接式第二階區間來建立,對於奇數階濾波器則會額外再加入第一階區間。兩組串接式第一階區間無法提供以如同單一個第二階區間所具有的廣範圍Q值。

圖19中所示為以轉換函數所串接而成的第四階濾波器。在此我們可以看到濾波器是以兩組第二階區間所建立而成的。

圖19:為了4極點濾波器而串接起來的轉換函數。
圖19:為了4極點濾波器而串接起來的轉換函數。

圖20中所示為採用三種不同的方法來建立第四階濾波器時,在相位響應上的影響。第一種就是以兩組Sallen-Key(SK)巴特威士區間來建立。第二種則是由兩組多重回授(MFB)巴特威士區間所組成。第三種是利用一組SK區間以及一組MFB區間所建立而成。但是就如同將兩組第一階區間串接並不能使其成為第二階區間一樣,兩組串接的第二階巴特威士區間並不等於一組第四階巴特威士區間。巴特威士濾波器之第一區間的f0為1,而Q為0.5412(α=1.8477)。第二區間的f0為1,而Q為1.3065(α=0.7654)。

圖20:對於不同拓樸的第四階相位響應。
圖20:對於不同拓樸的第四階相位響應。

如同前文中所提到的,SK區間為非反相,而MFB區間則為反相。圖20中對此三組第四階區間之相位偏移做了比較。SK與MFB濾波器具有相同的響應,這是因為兩組反相區間會產生出一組同相響應(-1×-1=+1)。採用混合式拓樸(SK與MFB)所建立的濾波器會產生出偏移180°的響應(+1×-1=-1)。

注意到總相位偏移是第二階區間(360° vs. 180°)之相位偏移的兩倍,就如所預期的一樣。而高通濾波器也會有相似的相位響應,但是會偏移180°。

這種串接式的想法可以使用於較高階濾波器的實現,但是對於超過第八階以上的任何情況,在現實上就很難加以組合。

參考資料

1. Daryanani, G. Principles of Active Network Synthesis and Design.

J. Wiley & Sons. 1976. ISBN: 0-471-19545-6.

2. Graeme, J., G. Tobey, and L. Huelsman. Operational Amplifiers

Design and Applications. McGraw-Hill. 1971. ISBN 07-064917-0.

3. Sallen, R. P., and E. L. Key. "A Practical Method of Designing

RC Active Filters." IRE Trans. Circuit Theory. 1955. Vol. CT-2,

pp. 74-85.

4. Thomas, L. C. "The Biquad: Part II-A Multipurpose Active

Filtering System." IEEE Trans. Circuits and Systems. 1971. Vol.

CAS-18. pp. 358-361.

5. Thomas, L. C. "The Biquad: Part I-Some Practical Design

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6. Tow, J. "Active RC Filters-A State-Space Realization." Proc.

IEEE. 1968. Vol. 56. pp. 1137-1139.

7. Van Valkenburg, M. E. Analog Filter Design. Holt, Rinehart &

Winston. 1982.

8. Williams, A. B. Electronic Filter Design Handbook. McGraw-

Hill. 1981.

9. Zumbahlen, H. "Analog Filters." Chapter 5, in Jung, W.,

Op Amp Applications Handbook. Newnes-Elsevier (2006).

(Original chapter from ADI Seminar Notes is available online.)

10. Zumbahlen, H. Basic Linear Design. Ch. 8. Analog Devices

Inc. 2006. (Available soon).

作者:Hank Zumbahlen

ADI公司





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